OPCIÓN A
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dada la matriz:
\(A=\begin{pmatrix}2a&-2&a^2\\ -1&a&-1\\ 2&1&a\end{pmatrix}\)
a) (1 pto) Calcular el rango de \(A\) en función de los valores de \(a\)
b) (1 pto) En el caso de \(a=2\), discutir el sistema\(A\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ b\end{pmatrix}\) en función de los valores de \(b\) y resolverlo cuando sea posible
c) (1 pto) En el caso de \(a=1\), resolver el sistema \(A\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\)
a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices
Calculando el determinante de la matriz \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}2a & -2 & a^2\\-1 & a & -1\\2 & 1 & a\end{array}=4-a^2=0\Rightarrow a=-2\) y \(a=2\)
– Si \(a\neq -2,2\), el determinante es distinto de cero, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a\neq -2,2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)
– Si \(a=-2\), \(|A|=0\) y como existe el menor
\(\begin{array}{|crl|}-4& -2\\-1 & -2\end{array}=6\neq 0\)
\(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=-2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
– Si \(a=2\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}4 &-2&4\\ -1&2&-1\\ 2&1&2\end{pmatrix}\)
De igual manera que en el caso anterior, es posible encontrar un menor tal que
\(\begin{array}{|crl|}4& -2\\-1 & 2\end{array}=6\neq 0\) por lo
tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } a=2,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)
b) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(a=2\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene
\(\begin{pmatrix}4 &-2&4\\ -1&2&-1\\ 2&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ b\end{pmatrix}\)
Como se ha visto en el apartado anterior si \(a=2\), el rango de \(A\) es dos. En el caso de la matriz ampliada se tendría
\(A^{*}=\begin{pmatrix}4 &-2&4&2\\ -1&2&-1&1\\ 2&1&2&b\end{pmatrix}\)
Tomando el menor \(\begin{array}{|crl|}4& -2&2\\-1 & 2&1\\2 & 1&b\end{array}=6b-18=0\Rightarrow b=3\)
– Si \(b\neq 3\), el rango de la matriz ampliada es tres y, por tanto, es distinto del de la matriz \(A\). De forma que \(\bbox[yellow]{\hbox{si }b\neq 3,\hbox{ el sistema es incompatible}}\)
– Si \(b= 3\), el rango de la matriz ampliada es 2 (ya que el determinante es cero y hay un menor dos por dos distinto de cero) y, por tanto, es igual al rango de la matriz \(A\). De forma que \(\bbox[yellow]{\hbox{si }b=3,\hbox{ el sistema es compatible indeterminado}}\)
Para \(b=3\) el sistema de ecuaciones que quedaría sería
\(\begin{cases}4x-2y+4z=&2\\-x+2y-z=&1\\2x+y+2z=&3\\\end{cases}\)
Consultando la resolución de sistemas de ecuaciones, se obtiene \(\bbox[yellow]{(1-\lambda,1,\lambda)}\)
c) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(a=q\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene
\(\begin{pmatrix}2 &-2&1\\ -1&1&-1\\ 2&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\)
El sistema es compatible determinado (con \(|A|=3\)) y se puede resolver por el método de Cramer. Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,
\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}-1 & -2 & 1 \\2 & 1 & -1\\2 & 1 &1\end{array}=6\)
\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}2 & -1 & 1 \\-1 & 2 & -1\\2 & 2 &1\end{array}=3\)
\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}2 & -2 & -1 \\-1 & 1 & 2\\2 & 1 &2\end{array}=-9\)
Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(2,1,-3)}\)
Ejercicio 2: (3 ptos)
a) (1,5 ptos) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas
\(r_1\equiv x=y=z\), \(r_2\equiv\begin{cases}y=&0\\z=&0\\\end{cases}\) y \(r_3\equiv\begin{cases}x=&0\\z=&0\\\end{cases}\)
con el plano \(\pi\equiv 2x+3y+7z=24\)
b) (1,5 ptos) Hallar la recta \(s\) que corta perpendicularmente a las rectas
\(r_4\equiv\frac{x+1}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z+1}{-2}\) y \(r_5\equiv\frac{x}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-1}\)
a) El volumen de un tetraedro se obtiene hallando el producto mixto de
\(\frac 16|\vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})|\), con \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) los vectores que unen los vértices del tetraedro buscado, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro
Para hallar los vértices \(A,B\hbox{ y }C\) se resuelven los siguientes tres sistemas, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(A:\begin{cases}r_1:&x=y=z\\\pi:&2x+3y+7z=24\\\end{cases}\Rightarrow A(2,2,2)\Rightarrow\vec{a}=\vec{OA}=(2,2,2)\)
\(B:\begin{cases}r_2\equiv\begin{cases}y=&0\\z=&0\\\end{cases}\\\pi:&2x+3y+7z=24\\\end{cases}\Rightarrow B(12,0,0)\Rightarrow\vec{b}=\vec{OB}=(12,0,0)\)
\(C:\begin{cases}r_2\equiv\begin{cases}x=&0\\z=&0\\\end{cases}\\\pi:&2x+3y+7z=24\\\end{cases}\Rightarrow C(0,8,0)\Rightarrow\vec{c}=\vec{OC}=(0,8,0)\)
Por lo tanto, consultando cómo resolver determinantes, se obtiene el resultado
\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}2 &2&2\\ 12&0&0\\ 0&8&0\end{array}=\frac 16.192=\bbox[yellow]{32}\)
b) La perpendicular común a dos rectas se puede obtener como intersección de dos planos paralelos a la perpendicular común y cada uno de ellos ha de contener a una de las rectas
La dirección perpendicular común está representada por el vector \(\vec{v}\) y será el producto vectorial entre los vectores directores de ambas rectas
\(\vec{v}=(1,2,-2)\times (2,3,-1)=(4,-3,-1)\)
Los dos planos paralelos se construirán con un punto de cada recta, los vectores directores de las mismas y el vector obtenido \(\vec{v}\), ver cómo se construye un plano
\(\pi:\begin{array}{|crl|}x+1 &y-5&z+1\\ 1&2&-2\\ 4&-3&-1\end{array}=0\Rightarrow\pi: 8x+7y+11z-16=0\) y \(\sigma:\begin{array}{|crl|}x-0 &y+1&z-1\\ 2&3&-1\\ 4&-3&-1\end{array}=0\Rightarrow\sigma: 3x+y+9z-8=0\)
Una vez obtenidas las ecuaciones de los planes, la recta se determina resolviendo el sistema formado por ambos planos, ver teoría de resolución de sistemas de ecuaciones
Dejando la solución en función del parámetro \(\lambda\) (dado a la coordenada primera), se tiene el resultado pedido
\(\bbox[yellow]{s:\begin{cases}x=&\lambda\\y=&\frac{56-39\lambda}{52}\\z=&\frac{40-13\lambda}{52}\\\end{cases}}\)
\[\] Ejercicio 3: (2 ptos)
a) (1 pto) Calcular la integral \(\displaystyle\int_1^3x\sqrt{4+5x^2}dx\)
b) (1 pto) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función \(f(x)=\sqrt{12-3x^2}\)
a) Consultando la tabla de integrales y recordando cómo se resuelven integrales definidas, se tiene
\(\displaystyle\int_1^3x\sqrt{4+5x^2}dx=\displaystyle\int_1^3 x(4+5x^2)^{\frac 12}dx=\frac{1}{10}\frac{(4+5x^2)^{\frac 32}}{\frac 32}\Big]_1^3=\bbox[yellow]{\frac{1}{15}(7^3-3^3)}\)
b) Para calcular los máximos y mínimos de la función, se derivará y se igualará a cero su derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y también consultar la tabla de derivadas
En este caso, \(f'(x)=\frac 12(12-3x^2)^{-\frac 12}(-6x)=\frac{-6x}{2\sqrt{12-3x^2}}=0\Rightarrow x=0\)
Luego, el punto crítico es \(x=0\) y evaluando el signo de la derivada antes y después de dicho punto, se tiene que \(f'(x<0)<0\) y \(f'(x>0)>0\), por lo tanto, sabiendo que \(f(0)=2\), el máximo estará en \(\bbox[yellow]{(0,\sqrt{2})}\)
El dominio de la función serán todos los números que hagan que el polinomio de dentro de la raíz sea positivo, ver dominio de una función, en este caso \(12-3x^2\geq 0\Rightarrow x\geq 2\) y \(x\leq 2\), es decir, el dominio será \(x\in [-2,2]\)
La función es una parábola hacia abajo con vértice en \((0,\sqrt{2})\), ver funciones elementales, por lo que sus mínimos serán los puntos que cortan al eje \(OX\), es decir, sus mínimos (en el dominio en el que está definida) serán \(\bbox[yellow]{(-2,0), (2,0)}\)
\[\]Ejercicio 4: (2 ptos)
a) (1 pto) Calcular el siguiente límite \(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}\)
b) (1 pto) Demostrar que la ecuación \(4x^5+3x+m=0\) sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número \(m\). Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan
a) \(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{\infty}{\infty}\)
De manera que se obtiene una indeterminación (ver indeterminaciones), para resolver el límite se dividirá entre la raíz de \(x\) arriba y abajo de la fracción, ver cómo resolver límites
\(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}=\bbox[yellow]{1}\)
b) Para probar que la ecuación tiene al menos una solución real, se aplicará el \(\bbox[yellow]{\hbox{Teorema de Bolzano}}\) a la función \(f(x)=4x^5+3x+m\), ver teoremas fundamentales
Como la función es polinómica, será continua en todos los números reales, ver continuidad de una función
La función cambia de signo entre \(-\infty\) y \(\infty\), luego, por el Teorema de Bolzano, existe un \(c\in (-\infty,\infty)\) tal que \(f(c)=0\), luego \(c\) será una solución de \(4x^5+3x+m=0\)
Para probar que dicha solución es, de hecho, única, se usará el \(\bbox[yellow]{\hbox{Teorema de Rolle}}\), ver teoremas fundamentales
Dicho teorema dice que siendo \(f(x)\) continua en el intervalo \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), si \(f(a)=f(b)\), entonces existe un punto \(c\in (a,b)\) tal que \(f'(c)=0\)
Al ser polinómica, \(f(x)\) es continua y derivable en todos los números reales, ver continuidad y derivabilidad
De forma que, suponiendo que existen dos puntos \(a\) y \(b\) tal que \(f(a)=f(b)\), por el Teorema de Rolle, debería existir un punto \(c\) en el intervalo \((a,b)\) tal que anulara su derivada
La derivada viene dada como, ver tabla de derivadas, \(f'(x)=20x^4+3=0\Rightarrow x=(-\frac{3}{20})^{\frac 14}\notin\mathbb{R}\)
Luego, como no existe un punto que anule la derivada, no existen dos puntos tales que \(f(a)=f(b)=0\) (no existen dos soluciones de \(f(x)\)), y por lo tanto la solución de \(f(x)\) tiene que ser única
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