OPCIÓN A

\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dadas las matrices:

\(A=\begin{pmatrix}k&k&k^2\\ 1&-1&k\\ 2k&-2&2\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}12\\ 6\\ 8\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}4\\ 3\\ 3\end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\)

Se pide:
a) (1,5 ptos) Hallar el rango de \(A\) en función de los valores de \(k\)
b) (0,75 pto) Para \(k=2\), hallar, si existe, la solución del sistema \(AX=B\)
b) (0,75 pto) Para \(k=1\), hallar, si existe, la solución del sistema \(AX=C\)

a) La matriz tiene tres filas, luego, como máximo el rango de \(A\) será tres, ver rango de matrices

Calculando el determinante de \(A\) se tiene, ver cómo resolver determinantes, \(\begin{array}{|crl|}k & k & k^2\\1 & -1 & k\\ 2k & -2 & 2\end{array}=k(4k^2-4)=0\Rightarrow k=0,\; k=1\) y \(k=-1\)

– Si \(k\neq 0,-1,1\), el determinante de la matriz es distinto de cero, por lo tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } k\neq 0,-1,1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }3}\)

– Si \(k=0\), la matriz tiene determinante nulo, ver cómo resolver determinantes, por lo tanto, como existe el menor
\(\begin{array}{|crl|}1& -1\\0 & -2\end{array}=-2\neq 0\)

\(\bbox[yellow]{\hbox{si } k=0,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)

– Si \(k=-1\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}-1 &-1&1\\ 1&-1&-1\\ -2&-2&2\end{pmatrix}\)

El determinante de esa matriz es nulo, pero \(\begin{array}{|crl|}-1& -1\\1 & -1\end{array}=-2\neq 0\) por lo
tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } k=-1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)

– Si \(k=1\), \(A\) será \(A=\begin{pmatrix}1 &1&1\\ 1&-1&1\\ 2&-2&2\end{pmatrix}\)

El determinante de esa matriz es nulo, pero \(\begin{array}{|crl|}1& 1\\1 & -1\end{array}=-2\neq 0\) por lo
tanto \(\bbox[yellow]{\hbox{si } k=1,\hbox{el rango de }A\hbox{ es }2}\)

b) Sustituyendo el valor de \(A\) cuando \(k=2\) en la ecuación matricial propuesta, se tiene

\(\begin{pmatrix}2 &2&4\\ 1&-1&2\\ 4&-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\ 6\\ 8\end{pmatrix}\)

Recordando que \(|A|=k(4k^2-1)=24\neq 0\), y, por lo tanto, el rango de la matriz es tres, el sistema es compatible determinado y puede resolverse por el método de Cramer.

Para ello se considera el determinante de \(A\) y los siguientes determinantes, ver cómo aplicar la Regla de Cramer,

\(|A_x|=\begin{array}{|crl|}12 & 2 & 4 \\6 & -1 & 2\\8 & -2 &2\end{array}=16\)

\(|A_y|=\begin{array}{|crl|}2 & 12 & 4 \\ 1 & 6 & 2\\4 & 8 &2\end{array}=0\)

\(|A_z|=\begin{array}{|crl|}2 & 2 & 12 \\ 1 & -1 & 6\\ 4 & -2 &8\end{array}=8\)

Por lo que la solución será \((x,y,z)=(\frac{|A_x|}{|A|},\frac{|A_y|}{|A|},\frac{|A_z|}{|A|})=\bbox[yellow]{(\frac 23,0,\frac 83)}\)

c) Para \(k=1\), se tiene \(\begin{pmatrix}1 &1&1\\ 1&-1&1\\ 2&-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\ 6\\ 8\end{pmatrix}\)

En este caso \(|A|=0\), luego el rango de la matriz será menor de tres. Es posible encontrar en la matriz \(A\) un menor dos por dos con determinante distinto de cero

\(\begin{array}{|crl|}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}=-2\neq 0\), luego el rango de la matriz será dos

Por otra parte, en la matriz \(A^{*}\) es posible encontrar un menor tres por tres tal que

\(\begin{array}{|crl|}1 & 1 & 12 \\ 1 & -1& 6\\ 2 & -2& 8\end{array}=8\neq 0\), por lo tanto, el rango de \(A^{*}\) será de tres

Como los rangos de \(A\) y de \(A^{*}\) son distintos, por lo tanto, \(\bbox[yellow]{\hbox{para }k=1, \hbox{ no hay soluciones porque el sistema es incompatible}}\)

Ejercicio 2: (3 ptos) Dados los puntos \(P_1(1,3,-1)\), \(P_2(a,2,0)\), \(P_3(1,5,4)\) y \(P_4(2,0,2)\), se pide:

a) (1 pto) Hallar el valor para \(a\) para que los cuatro puntos estén en el mismo plano
b) (1 pto) Hallar los valores de \(a\) para que el tetraedro con vértices en \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) y \(P_4\) tenga volumen igual a \(7\)
c) (1 pto) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de \(P_1\) y \(P_3\)

a) Para que los cuatro punto pertenezcan al mismo plano, el rango de la matriz formada por los vectores \(\vec{P_1P_2}\), \(\vec{P_1P_3}\) y \(\vec{P_1P_4}\) debe ser dos, ver posiciones relativas

Primeramente se hallan los vectores:

\(\vec{P_1P_2}=(a-1,-1,1)\), \(\vec{P_1P_3}=(0,2,5)\) y \(\vec{P_1P_4}=(1,-3,3)\)

Y se forma el determinante con los vectores obtenidos: \(\begin{array}{|crl|}a-1 & -1 & 1\\0 & 2 & 5\\1 & -3 & 3\end{array}=0\)

Consultando la teoría de cómo se resuelven determinantes, se obtiene que el determinante es cero si \(7(3a-4)=0\Rightarrow\bbox[yellow]{a=\frac 43}\)

b) El volumen de un tetraedro con vértices \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) y \(P_4\) viene dado por la siguiente fórmula, ver geometría de un tetraedro y consultar también cómo resolver determinantes

\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}\vec{P_1P_2}\\\vec{P_1P_3}\\\vec{P_1P_4}\end{array}=\frac 16\begin{array}{|crl|}a-1 & -1 & 1\\0 & 2 & 5\\1 & -3 & 3\end{array}=\frac 16|7(3a-4)|=7\Rightarrow \bbox[yellow]{a=\frac{10}{3}}\) y \(\bbox[yellow]{a=-\frac 23}\)

c) Se buscan los puntos \(P(x,y,z)\) que estén a igual distancia de \(P_1\) y de \(P_3\), ver fórmula para la distancia entre dos puntos

\(\sqrt{(x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-5)^2+(z-4)^2}\)

Simplificando las raíces elevando al cuadrado en ambos lados del igual y agrupando los términos se tiene la ecuación del plano pedido

\(\bbox[yellow]{\pi: 4y+10z-31=0}\)

 

\[\] Ejercicio 3: (2 ptos)Hallar \(a\), \(b\) y \(c\) de modo que la función \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) alcance en \(x=1\) un máximo relativo de valor \(2\) y tenga en \(x=3\) un punto de inflexión

Los datos que da el enunciado son los siguientes \(f(1)=0, \quad f'(1)=0\quad\hbox{y}\quad f»(3)=0\)

Para calcular los máximos y mínimos de la función, se derivará y se igualará a cero su derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y también consultar la tabla de derivadas

En este caso, \(\quad f(x)=x^3+ax^2+bx+c\), \(\quad f'(x)=3x^2+2ax+b\quad\) y \(\quad f»(x)=6x+2a\)

Sustituyendo los datos dados en el enunciado se tiene el siguiente sistema

\(\displaystyle\begin{cases}1^3+a.1^2+b.1+c=2&\\ 3.1^2+2a.1+b=0&\\ 6.3+2a=0&\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a+b+c=1&\\ 2a+b=-3&\\ 2a=-18&\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}a=-9&\\ b=15&\\ c=-5&\\\end{cases}}\)

 

\[\]Ejercicio 4: (2 ptos) Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas

a) (1 pto) \(\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx\qquad\quad\)

b) (1 pto) \(\displaystyle\int_0^{\frac{pi}{2}}\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 2x}dx\)

a) La integral se resolverá por partes, recordar cómo resolver una integral por partes, siendo

\(u=e^{2x}\Rightarrow du=e^{2x}2dx\quad\) y \(\quad dv=\cos xdx\Rightarrow v=\sin x\),

De esta forma,

\(\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx=e^{2x}\sin x\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x e^{2x}2dx \)

La integral obtenida no es inmediata, de forma que se vuelve a utilizar el procedimiento de integrar por partes para resolverla, en este caso,

\(u=e^{2x}\Rightarrow du=e^{2x}2dx\quad\) y \(\quad dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x\)

Por lo tanto,

\(\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx=e^{2x}\sin x\Big]_0^{\pi}-\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x e^{2x}2dx=e^{2x}\sin x\Big]_0^{\pi}-2\Big(e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-\displaystyle\int_0^{\pi}-\cos x e^{2x}2dx\Big)\)

Reagrupando términos se llega a la expresión siguiente

\(\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx=e^{2x}\sin x-2e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-4\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx\)

De manera que se ha llegado a una integral del tipo iterativa, llamando \(I=\displaystyle\int_0^{\pi}e^{2x}\cos xdx\), se tiene de la expresión anterior

\(I=e^{2x}\sin x-2e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}-4I\)

Despejando \(I\), se tiene \(5I=e^{2x}\sin x-2e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}\Rightarrow I=\frac{e^{2x}\sin x-2e^{2x}(-\cos x)\Big]_0^{\pi}}{5}=\frac{e^{2\pi}}{5}(0+2.(-1))-\frac 15(0+2.1)=\bbox[yellow]{-\frac 25(e^{2\pi}+1)}\)

b) Consultando la tabla de integrales y recordando cómo se resuelven integrales definidas, se tiene

\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 2x}dx= -\frac 12\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{-2\sin 2x}{1+\cos^2 2x}dx=-\frac 12\arctan (\cos 2x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac 12\arctan (\cos \pi)+\frac 12\arctan (\cos 0)=-\frac 12(-\frac{\pi}{4})+\frac 12\frac{\pi}{4}=\bbox[yellow]{\frac{\pi}{4}}\)

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