Ejercicio :(Septiembre 2013 Opción B) (Calificación: 3 ptos) Sean \(r_A\) la recta con vector dirección \((1,\lambda,2)\) que pasa por el punto \(A(1,2,1)\), \(r_B\) la recta con vector dirección \((1,1,1)\) que pasa por \(B(1,-2,3)\), y \(r_C\) la recta con vector dirección \((1,1,-2)\) que pasa por \(C(4,1,-3)\). Se pide:
a) (1 pto) Hallar \(\lambda\) para que las rectas \(r_A\) y \(r_B\) se corten
b) (1,5 ptos) Hallar \(\lambda\) para que a recta \(r_A\) sea paralela al plano definido por \(r_B\) y \(r_C\)
c) (0,5 ptos) Hallar el ángulo que forman \(r_B\) y \(r_C\)
a) Para que dos rectas se corten, el rango de la matriz de los vectores directores de ambas rectas y el vector formado por un punto de cada recta debe ser dos, ver posiciones relativas entre dos rectas
En este caso,
\(r_A:\begin{cases}A&(1,2,1)\\\vec{v_A}=&(1,\lambda,2)\\\end{cases}\) \(r_B:\begin{cases}B&(1,-2,3)\\\vec{v_A}=&(1,1,1)\\\end{cases}\) y \(r_C:\begin{cases}C&(4,1,-3)\\\vec{v_C}=&(1,1,-2)\\\end{cases}\)
Y además \(\vec{AB}=(1,-2,3)-(1,2,1)=(0,-4,2)\)
De forma que el determinante a estudiar será, ver cómo resolver determinantes
\(\begin{array}{|crl|}1 & \lambda & 2\\1 & 1 & 1\\0 & -4 & 2\end{array}=2+0-8-(0+2\lambda -4)=-2\lambda -2=0\Rightarrow \bbox[yellow]{\lambda=-1}\)
. Si \(\lambda\neq -1\), el determinante será distinto de cero y, por lo tanto, el rango de la matriz será tres y las rectas se cruzan, ver posiciones relativas entre dos rectas
. Si \(\lambda =-1\), el rango es dos y las rectas se cortan
b) Para que la recta \(r_A\) sea paralela al plano, \(\pi\) que definen \(r_B\) y \(r_C\), el vector director \(\vec{v_A}\) debe ser perpendicular al vector del plano determinado por \(r_B\) y \(r_C\), ver
Primeramente se halla el plano \(\pi\), para calcular el vector característico, \(\vec{n_{\pi}}\), de dicho plano, se toman los vectores directores \(\vec{v_B}\) y \(\vec{v_C}\) y se calcula su producto vectorial, ver cómo calcular un plano con dos rectas dadas y ver cómo calcular el producto vectorial entre dos vectores dados
\(\vec{n_{\pi}}=\vec{r_B}\times\vec{r_C}=\begin{array}{|crl|}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & -2\end{array}=(-3,3-0)\)
Como lo que se pretende es que el vector obtenido, \(\vec{n_{\pi}}\), sea perpendicular al vector \(\vec{r_A}\), se tiene que, ver cómo comprobar que dos vectores son perpendiculares entre sí,
\((1,\lambda,2).(-3,3,0)=0\Rightarrow\bbox[yellow]{\lambda =1}\)
c) El ángulo formado por dos rectas viene dado por la fórmula siguiente, ver cómo calcular el ángulo formado por dos rectas,
\(\cos\alpha=\frac{\vec{v_B}.\vec{v_C}}{|\vec{v_B}||\vec{v_C}|}=\frac{1.1+1.1+1.(-2)}{\sqrt{3}\sqrt{6}}=\frac{0}{\sqrt{18}}=0\Rightarrow\bbox[yellow]{\alpha=90}\)
Ejercicio :(Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2ptos)
Dados los puntos \(A(2,-2,1)\), \(B(0,1,-2)\), \(C(-2,0,-4)\) y \(D(2,-6,2)\), se pide:
a) (1 pto) Probar que el cuadrilátero \(ABCD\) es un trapecio (que tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos
b) (1 pto) Hallar el área del triángolo \(ABC\)
a) Para determinar que el cuadrilátero es un trapecio hay que comprobar que dos de los vectores que forman sus vértices son paralelos, ver paralelogramos:
\(\vec{AB}=(0,1,-2)-(2,-2,1)=(-2,3,-3)\)
\(\vec{BC}=(-2,0,-4)-(0,1,-2)=(-2,-1,-2)\)
\(\vec{CD}=(2,-6,2)-(-2,0,-4)=(4,-6,6)\)
\(\vec{DA}=(2,-2,1)-(2,-6,2)=(0,4,-1)\)
En este caso, \(\vec{AB}\) y \(\vec{CD}\) son paralelos
La distancia entre los dos lados paralelos vendrá dada por la distancia entre el punto \(C\) y la recta \(AB\), ver cómo calcular distancias entre una recta y un punto,
\(d(C, r_{AB})=\frac{\vec{AC}\times\vec{AB}}{\vec{AB}}\)
Calculando factor a factor y consultando cómo calcular un producto vectorial, se tiene
\(\vec{AC}=(-2,0,-4)-(2,-2,1)=(-4,2,-5)\)
\(\vec{AC}\times\vec{AB}=\begin{array}{|crl|}\vec{x} &\vec{y}&\vec{z}\\ -4&2&-5\\ -2&3&-3\end{array}=(9,2,-8)\)
De forma que quedaría
\(d(C, r_{AB})=\frac{|(9,2,-8)|}{|(-2,3,-3)|}=\bbox[yellow]{\frac{\sqrt{149}}{\sqrt{22}}}\)
b) El área viene dada por la fórmula, ver área de un paralelogramo,
\(\frac 12|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\bbox[yellow]{\frac 12\sqrt{149}}\)
Ejercicio :(Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Dado el punto \(P(1,2,-1)\) y el plano \(\pi: x+2y-2z+2=0\), sea \(S\) la esfera tangente al plano \(\pi\) en un punto \(P’\) tal que el segmento \(PP’\) es uno de sus diámetros. Se pide:
a) (1 pto) Hallar el punto de tangencia \(P’\)
b) (1 pto) Hallar la ecuación de \(S\)
a) El punto \(P’\) será la intersección de la recta \(r\) con el plano \(\pi\), siendo \(r\) la perpendicular a \(\pi\) que pasa por \(P\), ver rectas y planos,
\(\begin{cases}P&(1,2,-1)\\\ \vec{v}=\vec{n_{\pi}}=&(1,2,-2)\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=&1+\lambda\\\ y=&2+2\lambda\\\ z=&-1-2\lambda\\\end{cases}\)
Es decir, \(P’:\begin{cases}\begin{cases}x=&1+\lambda\\\ y=&2+2\lambda\\\ z=&-1-2\lambda\\\end{cases}\\\ \pi: x+2y-2z+2=0\\\end{cases}\Rightarrow 9\lambda +9=0\Rightarrow\lambda=1\)
Por lo tanto, sustituyendo el valor de \(\lambda\) en \(x,y,z\) se tiene el resultado \(\bbox[yellow]{P'(0,0,1)}\)
b) La ecuación de una esfera se puede obtener sabiendo los datos del centro y el radio. En este caso, el centro será el punto medio del segmento \(\vec{PP’}\), y el radio será la mitad del módulo de dicho segmento
Es decir, \(C(\frac{1+0}{2},\frac{2+0}{2},\frac{-1+1}{2})=C(\frac 12,1,0)\)
El radio sería \(\frac 12|\vec{PP’}|=\frac 12|(1-0,2-0,-1-1)|=\frac 12|(1,2,-2)|=\frac 12\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\frac 32\)
Por lo tanto, la ecuación de la esfera pedida será \((x-\frac 12)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=(\frac 32)^2\), que si se desarrolla queda \(\bbox[yellow]{C: x^2+y^2+z^2-x-2y-2=0}\)