Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)
Se considera la función real de variable real definida por
\(f(x)=\frac{x^3}{x^2-9}\)
se pide:
a) (1 pto) Hallar las asíntotas de su gráfica
b) (1 pto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=1\)
a) Para estudiar las asintótas de la función, consultar el apartado de teoría de asíntotas
. Asintótas verticales:
Las posibles asíntotas verticales estarían en los puntos que no están en el dominio, ver cómo se calcula el dominio de una función. En este caso, como el denominador se anula en \(x=\pm 3\), éstos serán los puntos de posible asíntotas verticales
\(\lim\limits_{x\to -3^{-}}\frac{x^3}{x^2-9}=\frac{-27}{0^{+}}=-\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to -3^{+}}\frac{x^3}{x^2-9}=\frac{-27}{0^{-}}=\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=-3}\) será una asíntota vertical
Por otra parte, \(\lim\limits_{x\to 3^{-}}\frac{x^3}{x^2-9}=\frac{27}{0^{-}}=-\infty\)
y
\(\lim\limits_{x\to 3^{+}}\frac{x^3}{x^2-9}=\frac{-27}{0^{+}}=\infty\)
Por lo tanto, \(\bbox[yellow]{x=3}\) será una asíntota vertical
. Asintótas horizontales:
Consultando cómo se resuelven límites y utilizando la Regla de L’Hôpital se tiene que
\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{x^2-9}=\pm\infty\)
Luego, \(\bbox[yellow]{\hbox{no hay horizontales }}\)
. Asintótas oblicuas:
Las posibles asíntotas oblicuas tendrían la siguiente expresión \(y=mx+n\)
Con \(m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{\frac{x^3}{x^2-9}}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{x^3-9x}=1\)
Y \(n=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(\frac{x^3}{x^2-9}-x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{9x}{x^2-9}=0\)
Luego, la recta \(\bbox[yellow]{y=x}\) será asíntota oblicua
b) La ecuación de la recta tangente en \(x=1\) viene dada por la siguiente ecuación, ver ecuaciones de la recta
\(y-f(1)=f'(1)(x-1)\)
Primeramente se calculará el valor de la función en el punto pedido, \(f(1)=\frac{1^3}{1^2-9}=-\frac 18\) y la derivada de la función, ver la tabla de derivadas
\(f'(x)=\displaystyle\frac{3x^2(x^2-9)-x^3.2x}{(x^2-9)^2}=\frac{x^4-27x^2}{(x^2-9)^2}\)
Luego, \(f'(1)=\frac{1^4-27.1^2}{(1^2-9)^2}=-\frac{13}{32}\)
Por lo tanto, se tendrá el resultado \(y-(-\frac 18)=-\frac{13}{32}(x-1)\Rightarrow\bbox[yellow]{y=-\frac{13}{32}x+\frac{9}{32}}\)
Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Se considera la función real de variable real definida por:
\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}ax^2-3&x\leq 1\\ \ln (2x-1)&x>1\\\end{cases}\)
a) (1 pto) Calcúlese el valor de \(a\) para que la función sea continua en todo \(\mathbb{R}\)
b) (1 pto) Represéntese gráficamente la función para el caso \(a=3\)
a) La función está formada por un polinomio y un logaritmo que es continuo en su dominio (en el intervalo donde está definido), luego el único punto de posible discontinuidad es el salto entre los polinomios, es decir, \(x=1\) (ver continuidad de funciones)
Para comprobar si la función es continua en dicho punto se evalúan los límites laterales y la función en el punto
\(\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\ln (2x-1)=\ln (2.1-1)=\ln 1=0\)
Calculando el otro límite lateral, se tiene
\(\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}ax^2-3=a.1^2-3=a-3=f(1)\)
Luego, para que la función sea continua en \(1\) (y, por tanto, en todo \(\mathbb{R}\)), se debe cumplir que \(a-3=0\Rightarrow\bbox[yellow]{a=3}\)
b) La función que se pide representar en el enunciado es la siguiente
\(f(x)=\displaystyle\begin{cases}3x^2-3&x\leq 1\\ \ln (2x-1)&x>1\\\end{cases}\)
Para representar la función se seguirán los pasos para dibujar el gráfico de una función
– El dominio en este caso serán todos los números reales, ver dominio de una función
– Para calcular el corte con los ejes se iguala la función a cero, ver cómo obtener los cortes con los ejes
\(f(x)=0\Rightarrow 3x^2-3=0\) y \(\ln (2x-1)=0\Rightarrow x=\pm 1\), luego los puntos de corte hallados serán \((-1,0)\) y \((1,0)\)
Por otra parte, evaluando \(f(0)\) se tiene \(f(0)=3.0^2-3=-3\), luego otro punto de corte será \((0,-3)\)
Con estos datos y sabiendo que \(3x^2-3\) es una parábola trasladada (y su vértice estará en \((0,-3)\)), ver funciones elementales, es posible dibujar la función
Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
Dada la función \(f(x)=\frac{x}{x^2+4}\)
a) (1 pto) Determínense los extremos relativos de \(f(x)\)
b) (1 pto) Calcúlese la integral definida \(\displaystyle\int_0^1f(x)dx\)
a) Para calcular los máximos y mínimos de la función (extremos relativos) se derivará la función y se igualará a cero, ver máximos y mínimos y la tabla de derivadas
\(f'(x)=\frac{1.(x^2+4)-x.2x}{(x^2+4)^2}=0\Rightarrow \frac{4-x^2}{(x^2+4)^2}=0\Rightarrow 4-x^2=0\Rightarrow x=\pm 2\)
Para saber si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos, se evalúas en la segunda derivada y se estudia el signo de la misma,
\(f»(x)=\frac{-2x(x^2+4)^2-(4-x^2)2(x^2+4)2x}{(x^2+4)^4}=\frac{2x^3-24x}{(x^2+4)^3}\)
Sustituyendo los valores obtenidos, \(x=\pm 2\), se tiene que
\(f»(-2)=\frac{32}{512}>0\) y \(f»(2)=-\frac{32}{512}<0\)
De esta forma, consultando cómo saber si los puntos críticos son máximos o mínimos, se concluye que (sabiendo que \(f(-2)=-\frac 14\) y que \(f(2)=\frac 14\)) la función tiene:
\(\bbox[yellow]{\hbox{max. en }(2,\frac 14)\hbox{ y min. en }(-2,-\frac 14)}\)
b) Para calcular la integral pedida recordar cómo se calcula una integral definida y la tabla de integrales y las propiedades de los logaritmos
\(\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\int_0^1\frac{x}{x^2+4}dx=\frac 12\int_0^1\frac{2x}{x^2+4}dx=\frac 12\ln (x^2+4)\Big]_0^1=\frac 12\ln (1^2+4)-\frac 12\ln (0^2+4)=\bbox[yellow]{\ln\frac{\sqrt{5}}{2}}\)