OPCIÓN B
\[\]Ejercicio 1: (3 ptos) Dada la función \(f(x)=2\cos^2 x\), se pide:
a) (1 pto) Determinar los extremos absolutos de \(f(x)\) en \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
b) (1 pto) Determinar los puntos de inflexión de \(f(x)\) en \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
c) (1 pto) Calcular \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx\)
a) Para calcular los máximos y mínimos consultar máximos y mínimos y la tabla de derivadas y ecuaciones trigonométricas
\(f'(x)=2.2\cos x(-\sin x)=0\Rightarrow =0\Rightarrow -2\sin 2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}k\) para todo \(k\in\mathbb{Z}\)
Como el intervalo dado en el enunciado es \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), se tomarán únicamente los valores \(k=-1,0,1\) que corresponden, respectivamente, con las soluciones \(x=-\frac{\pi}{2},x=0,x=\frac{\pi}{2}\)
Para saber si los puntos críticos obtenidos son máximos o mínimos, se evalúan en la segunda derivada,
\(f»(x)=-4\cos 2x\Rightarrow \begin{cases}f»(-\frac{\pi}{2})=-4<0\Rightarrow&\hbox{max}\\\ f»(0)=4>0\Rightarrow&\hbox{min}\\\ f»(\frac{\pi}{2})=-4<0\Rightarrow&\hbox{min}\\\end{cases}\)
Evaluando ahora los valores obtenidos en la función, se tienen los extremos absolutos pedidos, \(\bbox[yellow]{\hbox{Min. absoluto: }(-\frac{\pi}{2},0),\quad\hbox{ Max. absoluto: }(0,2),\quad\hbox{ Min. absoluto: }(\frac{\pi}{2},0)}\)
b) Para hallar los puntos de inflexión de \(f(x)\), se estudia la curvatura de la función, para ello se iguala la segunda derivada a cero (hallada en el apartado anterior), ver cómo estudiar la curvatura de una función
\(f»(x)=-4\cos 2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k\) para todo \(k\in\mathbb{Z}\)
Para \(k=0\) se tiene \(x=\frac{\pi}{4}\) y para \(k=-1\), \(x=-\frac{\pi}{4}\)
Evaluando los valores obtenidos en la función, se tienen los puntos de inflexión pedidos, \(\bbox[yellow]{(\frac{\pi}{4},1),(-\frac{\pi}{4},1)}\)
b) Consultando la tabla de integrales, recordando además cómo se resuelven integrales definidas y repasando las ecuaciones trigonométricas, se tiene
\(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\cos^2xdx=2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac 12(1+\cos 2x)dx=x+\frac 12\sin 2x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=(\frac{\pi}{2}+\frac 12\sin (2\frac{\pi}{2}))-(0+\frac 12\sin (2.0))=\bbox[yellow]{\frac{\pi}{2}}\)
Ejercicio 2: (3 ptos) Dadas las matrices
\(A\begin{pmatrix}1 &\lambda&0\\ 1& 1&2\\ 0& -1&-1\end{pmatrix};\) \(B=\begin{pmatrix}0 &1&1\\ 1& 0&-1\\ 2& 1&0\end{pmatrix}\)
a) (1 pto) Hallar el valor de \(\lambda\) para el cual la ecuación matricial \(XA=B\) tiene solución única
b) (1 pto) Calcular la matriz \(X\) para \(\lambda =4\)
c) (1 pto) Calcular el determinante de la matriz \(A^2B\) en función de \(\lambda\)
a) La ecuación tendrá solución única cuando sea posible despejar \(X\), es decir, cuando \(A\) tenga inversa ya que \(X=BA^{-1}\), ver ecuaciones matriciales
Para que exista \(A^{-1}\), el determinante de \(A\) debe ser no nulo. En este caso
\(\begin{array}{|crl|}1 &\lambda&0\\ 1& 1&2\\ 0& -1&-1\end{array}=\lambda +1=0\Rightarrow\lambda=-1\)
Es decir, \(\bbox[yellow]{\hbox{para todo }\lambda\neq -1,\hbox{ existe una única solución}}\)
b) Para \(\lambda=4\), se tiene
\(A=\begin{pmatrix}1 &4&0\\ 1& 1&2\\ 0& -1&-1\end{pmatrix}\)
El determinante de \(A\) será en este caso \(|A|=5\), ver cómo calcular determinantes
La inversa de la matriz se calculará con la siguiente fórmula, ver cómo calcular la inversa de una matriz
\(A^{-1}=\frac{(Adj A)^{t}}{|A|}\)
Calculando la matriz de adjuntos y trasponiéndola, se obtiene
\((Adj A)^{t}=\begin{pmatrix}1 &4&8\\ 1& -1&-2\\ -1& 1&-3\end{pmatrix}\)
Por lo tanto, la inversa será \(A^{-1}=\frac 15\begin{pmatrix}1 &4&8\\ 1& -1&-2\\ -1& 1&-3\end{pmatrix}\)
Quedando así el resultado final para \(X\), ver cómo operar con matrices
\(X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}0 &1&1\\ 1& 0&-1\\ 2& 1&0\end{pmatrix}\frac 15\begin{pmatrix}1 &4&8\\ 1& -1&-2\\ -1& 1&-3\end{pmatrix}=\bbox[yellow]{\frac 15\begin{pmatrix}0 &0&-5\\ 2& 3&11\\ 3& 7&14\end{pmatrix}}\)
c) Aplicando las propiedades de los determinantes, ver propiedades de los determinantes, se tiene que
\(|A^2B|=|A^2||B|=|A|^2|B|=(\lambda +1)^2\begin{array}{|crl|}0 &1&1\\ 1& 0&-1\\ 2& 1&0\end{array}=((\lambda +1)^2(-1)=\bbox[yellow]{-(\lambda +1)^2)}\)
\[\] Ejercicio 3: (Calificación- 2 ptos)
a) (1 pto) Hallar los puntos de corte de la recta de dirección \((2,1,1)\) y que pasa por el punto \(P(4,6,2)\), con la superficie esférica de centro \(C(1,2,-1)\) y radio \(\sqrt{26}\)
b) (1 pto) Hallar la distancia del punto \(Q(-2,1,0)\) a la recta \(r\equiv\frac{x-1}{2}=y+2=\frac{z-3}{2}\)
a) Se calcula en primer lugar la recta a partir de la dirección y el punto dados, ver cómo calcular una recta a partir de un vector y un punto,
\(\displaystyle s:\begin{cases}x=&4+2\lambda\\\ y=&6+\lambda\\\ z=&2+\lambda\\\end{cases}\)
Por otra parte, con el centro y el radio de la esfera se construye la ecuación de dicho lugar geométrico,
\(C\equiv (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=(\sqrt{26})^2\)
Los puntos comunes a la recta y a la superficie \(C\) se halla resolviendo el sistema formado por las ecuaciones que las definen,
\(\begin{cases}x=&4+2\lambda\\\ y=&6+\lambda\\\ z=&2+\lambda\\\ C\equiv (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=(\sqrt{26})^2\\\end{cases}\)
Resolviendo el sistema de ecuaciones, ver cómo se resuelven sistemas de ecuaciones, se obtienen los puntos buscados \(\bbox[yellow]{A(\frac{10}{3},\frac{17}{3},\frac{5}{3})}\) y \(\bbox[yellow]{B(-8,2,-2)}\)
b) Consultando cómo calcular la distancia entre un punto y una recta, se tiene
\(d(Q,r)=\frac{|(-9,0,9)|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{\sqrt{162}}{\sqrt{9}}=\bbox[yellow]{\sqrt{18}}\)
\[\]Ejercicio 4: (Calificación- 2 ptos)
Dados el punto \(P(1,0,-1)\), el plano \(\pi\equiv 2x-y+z+1=0\) y la recta \(\begin{cases}-2x+y-1=&0\\\ 3x-z-3=&0\\\end{cases}\)
a) (1,5 pto) Determinar la ecuación del plano que pasa por \(P\), es paralelo a la recta \(r\) y perpendicular al plano \(\pi\)
b) (0,5 pto)Hallar el ángulo entre \(r\) y \(\pi\)
a) Consultando cómo construir un plano a partir de un punto, un plano y una recta, y cómo obtener vectores directores de una recta y de un plano, se obtiene
\(\sigma\equiv\begin{cases}P=&(1,0,-1)\\\ \vec{v_r}=&(1,2,3)\\\ \vec{n_r}=&(2,-1,1) \\\end{cases}\Rightarrow\sigma\equiv\begin{array}{|crl|}x-1 &y&z+1\\ 1&2&3\\ 2&-1&1\end{array}=0\Rightarrow\bbox[yellow]{\sigma:x+y-z-2=0}\)
b) Utilizando la fórmula para calcular el ángulo entre una recta y un plano, se obtiene
\(\sin\alpha=\frac{(1,2,3).(2,-1,2)}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{6}}\Rightarrow\bbox[yellow]{\alpha=19,1}\)