Ejercicio :(Junio 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)
a) (0,75 ptos) Hallar la ecuación del plano \(\pi_1\) que pasa por los puntos \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\) y \(C(0,0,1)\)
b) (0,75 ptos) Hallar la ecuación del plano \(\pi_2\) que contiene al punto \(P(1,2,3)\) y es perpendicular al vector \(\vec{v}=(-2,1,1)\)
c) (0,5 ptos) Hallar el volumen del tetraedro de vértices \(A,B,C\) y \(P\)
a) Con los tres puntos dados es posible escribir la ecuación del plano pedido, ver cómo se construye un plano
\(\pi_2\equiv\frac x1+\frac y2+\frac z1=1\Rightarrow\bbox[yellow]{\pi_1\equiv 2x+y+2z-2=0}\)
b) El vector \(\vec{v}\) dado será el vector normal del plano pedido, luego su ecuación vendrá dada por, ver de nuevo cómo se construye un plano
\(\pi_2\equiv -2x+y+z+C=0\)
La constante \(C\) se obtiene sustituyendo el punto \(P\) en la ecuación del plano (ya que el enunciado dice que dicho punto pasa por el plano), es decir
\(-2.1+2+3+C=0\Rightarrow C=-3\Rightarrow\bbox[yellow]{\pi_2\equiv-2x+y+z-3=0}\)
c) El volumen de un tetraedro se calcula utilizando la siguiente fórmula que involucra el producto mixto entre vectores, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro
\(V=\frac 16|\vec{AP}(\vec{BP}\times\vec{CP})|\)
Calculando término a término, se tiene
\(\vec{AP}=(0,2,3)\), \(\vec{BP}=(1,0,3)\) y \(\vec{CP}=(1,2,2)\)
De esta forma, resolviendo un determinante se obtiene el resultado final, ver cómo resolver determinantes
\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}0 &2&3\\ 1&0&3\\ 1&2&2\end{array}=\frac 86=\bbox[yellow]{\frac 43}\)
Ejercicio :(Septiembre 2011 Opción A) (Calificación: 3 ptos) Dados los planos
\(\pi_1\equiv 2x+3y+z-1=0,\;\;\) \(\;\pi_2\equiv 2x+y-3z-1=0\)
y la recta
\(r\equiv\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z+2}{2}\)
se pide:
a) (1 pto) El punto o puntos de \(r\) que quidisten de \(\pi_1\) y \(\pi_2\)
b) (1 pto) El volumen del tetraedro que \(\pi_1\) forma con los planos \(XY\), \(YZ\) e \(YZ\)
c) (1 pto) La proyección ortogonal de \(r\) sobre \(\pi_2\)
a) Sea \(P(x,y,z)\) el punto genérico pedido, consultando la fórmula de la distancia de un punto a un plano, se tiene
\(d(P,\pi_1)=d(P,\pi_2)\Rightarrow\frac{|2x+3y+z-1|}{\sqrt{2^2+3^2+1^2}}=\frac{|2x+y-3z-1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-3)^2}}\)
Simplificando se tiene \(2x+3y+z-1=\pm(2x+y-3z-1)\Rightarrow\sigma_1\equiv y+2z=0\) y \(\sigma_2\equiv 2x+2y-z-1=0\)
Los puntos pedidos se obtendrán resolviendo los sistemas de ecuaciones siguientes, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}\sigma_1\equiv&y+2z=0\\ r\equiv&\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z+2}{2}\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{P(3,0,0)}\)
y
\(\begin{cases}\sigma_2\equiv&2x+2y-z-1=0\\ r\equiv&\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z+2}{2}\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{P'(\frac 12,-\frac 54,-\frac 52)}\)
b) El volumen de un tetraedro se obtiene hallando el producto mixto de
\(\frac 16|\vec{a}.(\vec{b}\times\vec{c})|\), con \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) los vectores que unen los vértices del tetraedro buscado, ver cómo hallar el volumen de un tetraedro
En este caso dichos vectores se obtiene a partir de la ecuación del plano dada en el enunciado
\(2x+3y+z-1=0\Rightarrow\frac{x}{\frac 12}+\frac{y}{\frac 13}+\frac z1=1\)
Es decir, \(\vec{a}=(\frac 12,0,0)\), \(\vec{b}=(0,\frac 13,0)\) y \(\vec{c}=(0,0,1)\)
Por lo tanto, sabiendo cómo resolver determinantes, se obtiene el resultado
\(V=\frac 16\begin{array}{|crl|}\frac 12 &0&0\\ 0&\frac 13&0\\ 0&0&1\end{array}=\frac 16 \frac 16=\bbox[yellow]{\frac{1}{36}}\)
c) La intersección ortogonal de una recta sobre un plano se puede obtener como la intersección de dos planos, sobre el que se proyecta la recta y un plano \(\sigma\) perpendicular al que se proyecta y que contenga a la recta que se quiere proyectas
Es decir, \(\begin{array}{|crl|}x-1 &y+1&z+2\\ 2&1&2\\ 2&1&3\end{array}=0\)
Desarrollando el determinante, ver cómo resolver determinantes, se tiene \(\sigma\equiv x-2y-3=0\)
Luego, la proyección pedida será la solución del siguiente sistema, ver cómo resolver sistemas de ecuaciones
\(\begin{cases}\pi_1\equiv&2x+3y+z-1=0\\ \sigma\equiv&x-2y-3=0\\\end{cases}\Rightarrow\bbox[yellow]{\begin{cases}x=&3+2\lambda\\ y=&\lambda\\ z=&\frac 53+\frac 53 \lambda\\\end{cases}}\)
Ejercicio :(Septiembre 2011 Opción B)(Calificación: 3 ptos) Dado el punto \(P(0,1,1)\) y las rectas
\(r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}\frac{z}{-1};\;\;\)\(s\equiv\begin{cases}x=&0\\y=&0\\\end{cases}\)
a) (1,5 ptos) Determinar las coordenadas del punto simétrico de \(P\) respecto a \(r\)
b) (1,5 ptos) Determinar la recta que pasa por el punto \(P\), que tiene dirección perpendicular a la recta \(r\) y corta a \(s\)
a) El simétrico de un punto \(P\) respecto a una recta se calcula como el simétrico del punto respecto a la proyección ortogonal \(M\) de \(P\) sobre \(r\), ver cómo calcular un punto simétrico
La proyección \(M\) se calculará como la intersección de la recta \(r\) con el plano \(\pi\) que será perpendicular a \(r\) y contendrá a \(P\), ver cómo se construye un plano
\(M:\begin{cases}r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}\frac{z}{-1}&\\ \pi:\begin{cases}\vec{n_{\pi}}=(2,1-1)&\\P(0,1,1)&\\\end{cases}\\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}\frac{z}{-1}&\\ \pi:2x+y-z=0\\\end{cases}\Rightarrow M(\frac 23,-\frac 76,\frac 16)\)
Sabiendo las coordenadas de la proyección \(M\), el punto simétrico buscado, \(P’\) se calcula teniendo en cuenta que \(M\) es el punto medio del segmento \(\vec{PP’}\), ver cómo calcular un punto medio
\(M \big(\frac{x_p+x_{p’}}{2},\frac{y_p+y_{p’}}{2},\frac{z_p+z_{p’}}{2}\big)\)
Despejando y con los datos de \(M\) y \(P\), se tiene el resultado \(\bbox[yellow]{P'(\frac 43,-\frac{10}{3},-\frac 23)}\)
b) La recta buscada \(r’\) se calculará encontrando el punto de corte de \(r’\) con \(s\), sabiendo que si \(r’\) es perpendicular a \(r\), el vector \(vec{AP}\) será perpendicular al vector director de \(r\), ver el producto escalar entre dos vectores, \(\vec{AP}.\vec{v_r}=0\)
Si \(A\) es el punto de corte de \(r’\) con \(s\), las coordenadas podrán escribirse de manera genérica como \(A(0,0,\lambda)\), de forma que
\(\vec{AP}=(0,1,1)-(0,0,\lambda)=(0,1,1-\lambda)\) y \(\vec{AP}.\vec{v_r}=(0,1,1-\lambda).(2,1,-1)=0.2+1.1+(1-\lambda)(-1)=0\Rightarrow\lambda=0\Rightarrow\vec{AP}=(0,1,1)\)
Y consultando la teoría de cómo formar una recta con un vector y un punto dado se obtiene el resultado \(r’:\begin{cases}P(0,1,1)&\\ \vec{AP}=(0,1,1)&\\\end{cases}\Rightarrow \bbox[yellow]{r’\equiv\begin{cases}x=&0\\y=&1+\lambda\\z=&1+\lambda\\\end{cases}}\)