El ejercicio siguiente hace referencia a un bloqueo perceptivo en el que se tiende a pensar que el problema tiene solución, pero en este caso no la tiene ya que no es posible dividir a los personas entre dos y restar uno.

Ejercicio – Marina tiene 15 primos, 9 de ellos viven fuera de Madrid. La mitad más uno de los primos de Marina tienen al menos dos años más que ella. ¿Cuántos tendrán la misma edad que Marina?

A. 6 

B. La mitad menos uno

C. 9

D. Ninguna de las anteriores

 

Respuesta al \[\]Ejercicio 1:

La respuesta correcta es la D. ya que no es posible calcular la mitad menos uno de los primos de Marina, ya que son 15, y 15/2 + 1 = 8,5 lo cual no tiene sentido

 

El siguiente ejercicio representa las llamadas suposiciones ocultas, (ver teoría sobre bloqueos) un tipo de bloqueo perceptivo en el cual los alumnos pueden considerar únicamente la solución en el plano, sin considerar una figura en 3 dimensiones como respuesta

 

Ejercicio – ¿Cuál es el menor número de palillos iguales necesarios para formar cuatro triángulos equiláteros cuyos lados tienen la longitud de los palillos?

 

 A. 4                             B. 6                            C. 9                           D. 12

 

Respuesta al Ejercicio 2:

La respuesta D no es correcta ya que no es el menor número de palillos con el que se pueden formar cuatro triángulos, de hecho, es la menos correcta dentro de las correctas:

La respuesta C tampoco es la correcta, pero se acerca más a ella:

La respuesta correcta es la B, ya que la figura que optimiza el número de palillos es el tetraedro:

\[\]Ejercicio 4: Dos ciudades distan entre sí \(400\) km. Un coche sale de la ciudad \(A\) hacia \(B\) a \(100\) km./h. y otro de \(B\) a \(A\) a \(150\) km./h., si los dos coches salieron a la vez, ¿a qué distancia de \(A\) se juntarán? ¿Cuánto tiempo tardarán desde que salen hasta que se juntan?

Llamando \(x\) la distancia de la ciudad \(A\) al punto en el que se juntan los coches (es decir, lo que se está pidiendo hallar), \(400-x\) será la distancia de la ciudad \(B\) al punto donde se encuentran los coches

La velocidad es igual a espacio partido por tiempo, \(v=\frac et\), de forma que, despejando, el tiempo será \(t=\frac ev\), el tiempo que se pide en el ejercicio será \(t_A=\frac{x}{100}\), ya que \(100\) es la velocidad a la que va el coche que sale de \(A\) y \(t_B=\frac{400-x}{150}\) será el tiempo visto desde la ciudad \(B\)

Por lo tanto, como ambos coches salen a la vez, \(t_A=t_B\) y \(\frac{x}{100}=\frac{400-x}{150}\)

Es decir, recordando cómo resolver ecuaciones de primer grado se obtiene \(150x=40000-100x\Rightarrow 250x=40000\Rightarrow x=160\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{a } 160 \hbox{ km. de la ciudad A se encuentran los coches}} \)

Para calcular el tiempo que tardarán en encontrarse y sabiendo que \(x=160\) se despeja \(t_A\) de la ecuación \(t_A=\frac{x}{100}\)

Es decir; \(\bbox[yellow]{\hbox{Los coches se encuentran a las }1,6 \hbox{ horas de salir}}\)

\[\]Ejercicio 5: Preguntando un padre por la edad de su hijo, contesta: «Si del doble de los años que tiene se le quitan el triple de los que tenía hace \(6\) años se tendrá su edad actual». Hallar la edad del hijo en el momento actual

Llamando \(x\) a la edad actual del hijo, para hallar el resultado se debe resolver la siguiente ecuación de primer grado, recordar cómo resolver ecuaciones de primer grado

\(2x-3(x-6)=x\Rightarrow 2x-3x+18=x\Rightarrow -2x=-18\Rightarrow x=9\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{El hijo tiene }9}\)

\[\] Ejercicio 6: Dos ciudades distan \(1000\) km. Un tren sale de la ciudad \(A\) a \(B\) a \(200\) km./h. y una hora más tarde sale de \(B\) un tren a \(A\) a \(250\) km./h., si los dos coches salieron a la vez, ¿a qué distancia de \(A\) se juntarán?

Considerando \(x\) a la distancia de la ciudad \(A\) al punto en el que se juntan los trenes, entonces \(1000-x\) será la distancia de la ciudad \(B\) al punto donde se encuentran

La velocidad es igual a espacio partido por tiempo, \(v=\frac et\), así que el tiempo será \(t=\frac ev\), en el ejercicio será \(t_A=\frac{x}{200}\) y \(t_B=\frac{1000-x}{250}\) será el tiempo visto desde la ciudad \(B\)

Por lo tanto, como el tren que sale de \(B\) sale una hora más tarde que el que sale de \(A\), se tendrá: \(\frac{x}{200}=\frac{1000-x}{250}\)

Consultando la teoría sobre cómo resolver ecuaciones de primer grado se obtiene \(250x=200000-200x+50000\Rightarrow 250x+200x=200000+50000\Rightarrow 450x=25000\Rightarrow x=\frac{250000}{450}\Rightarrow x=555,55\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{a } 555,55 \hbox{ km. de la ciudad A se encuentran los trenes}} \)

\[\] Ejercicio 7: Un padre tiene \(37\) años y las edades de sus tres hijos suman \(25\) años. ¿Dentro de cuántos años las edades de los hijos sumarán como la edad del padre?

Dentro de \(x\) años el padre tendrá \(37+x\) años y las edades de sus hijos sumarán \(25+3x\)

Para hallar el resultado se deben igualar las edades que tendrán dentro \(x\) años el padre y los hijos, es decir, todo se resume en resolver la siguiente ecuación de primer grado, recordar cómo resolver ecuaciones de primer grado

\(37+x=25+3x\Rightarrow x-3x=25-37\Rightarrow -2x=-12\Rightarrow x=6\Rightarrow\bbox[yellow]{\hbox{Dentro de }6}\)

Ver ejercicios más avanzados de ecuaciones de primer grado

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Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(320\). Se toma una muestra simple de \(36\) elementos

a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media de la distribución normal sea mayor o igual que \(50\)

b) Determínese un intervalo de confianza del \(95\)% para la media de la distribución normal, si la media muestral es igual a \(4820\)

a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable dada, seguirá una normal de la forma \(X\equiv N(\mu, \sigma)\), ver estadística

Para muestras de tamaño \(36\) elementos, se tendrán las medias muestrales que seguirán una distribución Normal: \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{36}})\)

El ejercicio pide hallar \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 50)\)

Es decir, \(P(|\bar{x}-\mu|\geq 50)=1-P(|\bar{x}-\mu|< 50)=1-P(-50<\bar{x}-\mu< 50)=1-P(\mu-50<\bar{x}< \mu +50)\)

Para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(\bar{x}\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)

De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{36}}}\) y

\(1-P(\mu-50<\bar{x}< \mu +50)=1-P(\frac{\mu-50-\mu}{\frac{320}{36}}<z<\frac{\mu+50-\mu}{\frac{320}{36}})=1-P(-0,94<z<0,94)=1-(P(z<0,94)-P(z\leq -0,94))=1-(P(z<0,94)-P(z\geq 0,94))=1-(P(z<0,94)-(1-P(z< 0,94))\)

Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(|\bar{x}-\mu|\geq 50)=0,3472}\)

b) El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(4820-1,96\frac{320}{\sqrt{36}},4820+1,96\frac{320}{\sqrt{36}})=\bbox[yellow]{(4715,5; 4924,5)}\)

Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Para estudiar la media de una población con distribución normal de desviación típica igual a \(5\), se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño \(100\), con la que se ha obtenido el intervalo de confianza \((173,42; 176,56)\) para dicha población

a) Calcúlese la media de la muestra seleccionada

b) Calcúlese el nivel de confianza del intervalo obtenido

a) La media en este caso puede hallarse con la amplitud del intervalo de confianza dado en el enunciado, ver teoría de estadística,

\(\bar{x}=\frac{173,42+176,56}{2}=\bbox[yellow]{174,99}\)

b) El nivel de confianza se puede calcular a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=\frac{E\sqrt{n}}{\sigma}\), ver teoría de estadística

Por lo tanto, \(z_{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1,57\sqrt{100}}{5}=3,14\)

Consultando la tabla de la normal, se obtiene \(1-\frac{\alpha}{2}=0,9992\Rightarrow\alpha=2(1-0,9992)=0,0016\)

De esta manera, el nivel de confianza pedido será \(1-\alpha=1-0,0016=0,9984\Rightarrow\bbox[yellow]{99,84\hbox{%}}\)

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Ejercicio : (Junio 2010 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se supone que el peso en kilos de los rollos de cable eléctrico producidos por una cierta empresa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(0,5\) Kg. Una muestra aleatoria de \(9\) rollos ha dado un peso medio de \(10,3\) Kg

a) Determínese un intervalo de confianza al \(90\)%para el peso medio de los rollos de cable que produce dicha empresa

b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual que \(0,2\) Kg con probabilidad igual a \(0,98\)?

a) Se define la variable aleatoria \(x\) como el peso en kilos de un rollo de cable eléctrico con distribución \(N(\mu, \sigma)\)

Las medias de tamaño nueve siguen una distribución \(\bar{x}:N(\mu,\frac{0,5}{\sqrt{9}})\)

El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(90\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,90\Rightarrow \alpha=0,10\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,65\)

Por lo tanto,

\(IC=(10,3-1,65\frac{0,5}{\sqrt{9}},10,3+1,65\frac{0,5}{\sqrt{9}})=\bbox[yellow]{(10,02, 10,57)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística

En este caso, al ser \(98\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,98\Rightarrow\alpha=0,02\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,33\), por lo tanto, \(n>(2,33\frac{0,5}{0,2})^2=33,93\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 34}\)

Ejercicio : (Junio 2010 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se supone que el precio de un kilo de patatas en una cierta región se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a \(10\) centímetros de euro. Una muestra aleatoria simple de tamaño \(256\) proporciona un precio medio del kilo de patatas a \(19\) céntimos de euro

a) Determínese un intervalo de confianza al \(95\)% para el precio medio de un kilo de patatas en la región

b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo que ha de observarse?

a) Se define la variable aleatoria \(x\) como el peso en kilos de un rollo de cable eléctrico con distribución \(N(\mu, \sigma)\)

Las medias de tamaño nueve siguen una distribución \(\bar{x}:N(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{252}})\)

El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(19-1,96\frac{10}{\sqrt{256}},19+1,96\frac{10}{\sqrt{256}})=\bbox[yellow]{(17,8, 20,2)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística

El error máximo se obtiene a partir de la amplitud del intervalo, ver estadística, en este caso

\(E=\frac{|17,8-20,2|}{2}=1,2\)

Al ser \(99\)% el nivel de confianza, \(1-\alpha=0,99\Rightarrow\alpha=0,01\), y consultando la tabla de la normal, se tiene \(z_{\frac{\alpha}{2}}=2,58\), por lo tanto, \(n>(2,58\frac{10}{1,2})^2=462,25\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 463}\)

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Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Se supone que la presión diastólica en una determinada población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(98\)mm y desviación típica \(15\) mm. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \(9\)

a) Calcúlese la probabilidad de que la media muestral sea mayor que \(100\) mm

b) Si se sabe que la media muestral es mayor que \(100\) mm, ¿cuál es la probabilidad de que sea también menor que \(104\) mm?

a) Por los datos del enunciado, siendo \(x\) la variable que mide la presión diastólica, ésta seguirá una normal de la forma \(x\equiv N(98, 15)\), ver estadística

Las medias de muestras aleatorias de nueve elementos también seguirá una distribución Normal: \(\bar{x}:N(98,\frac{15}{\sqrt{5}})=N(98,5)\)

El ejercicio pide hallar la probabilidad de que la media sea superior a \(100\), es decir, \(P(\bar{x}>100)\), para poder utilizar la tabla de la normal, ha de normalizarse la variable \(X\) (ya que la tabla es para variables que siguen una \(N(0,1)\), consultar teoría de estadística)

De forma que \(z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma}\) y

\(P(\bar{x}>100)=P(z>\frac{100-9,8}{5})=P(z>0,40)=1-P(z<0,40)\)

Consultando la tabla de la normal se tiene el resultado pedido, \(\bbox[yellow]{P(\bar{x}>100)=0,3446}\)

b) Se pide hallar una probabilidad condicionada, ver teoría sobre la probabilidad condicionada

\(P(\bar{x}<104|\bar{x}>100)=\frac{P(100<\bar{x}<104)}{P(\bar{x}>100)}\)

Por una parte y normalizando la variable se tiene, ver cómo tipificar una variable aleatoria y consultar la tabla de la normal

\(P(100<\bar{x}<104)=P(\frac{100-98}{5}<\bar{x}<\frac{104-98}{5})\)

Por lo tanto, \(P(0,40<z<1,20)=0,8849-0,6554=0,2292\)

Del primer apartado se sabe que \(P(\bar{x}>100)=0,3446\), luego sustituyendo ambos valores en la fórmula para la probabilidad condicionada, se tiene

\(P(\bar{x}<104|\bar{x}>100)=\frac{0,2292}{0,3446}=\bbox[yellow]{0,6551}\)

 

Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Para determinar el coeficiente de inteligencia \(\theta\) de una persona se le hace contestar un conjunto de tests y se obtiene la media de sus puntuaciones. Se supone que la calificación de cada test se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \(\theta\) y desviación típica \(10\)

a) Para una muestra aleatoria simple de \(9\) tests, se ha obtenido una media muestral igual a \(110\). Determínese un intervalo de confianza para al \(95\)% de confianza

b) ¿Cuál es el número mínimo de tests que debería realizar la persona para que el valor absoluto del error en la estimación de su coeficiente de inteligencia sea menor o igual que \(5\) con el mismo nivel de confianza?

a) Se define la variable \(x\equiv\) puntuación obtenida en el test. Se trata de una variable que sigue una distribución Normal, \(N(\theta,10)\)

Para muestras de nueve elementos (nueve tests), las medias de los resultados también seguirán una Normal: \(N(\theta,\frac{10}{3})\)

El intervalo de confianza se hallará con la siguiente fórmula, ver teoría de estadística,

\(IC=(\bar{x}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)

El valor de \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) se obtiene a partir del nivel de confianza dado en el enunciado y consultando la tabla de la normal

Nivel de confianza del \(95\hbox{%}\Rightarrow 1-\alpha=0,95\Rightarrow \alpha=0,05\Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\)

Por lo tanto,

\(IC=(110-1,96\frac{10}{\sqrt{9}},110+1,96\frac{10}{\sqrt{9}})=\bbox[yellow]{(103,5, 116,5)}\)

b) El tamaño muestral es posible obtenerlo a partir del error máximo permitido

\(E=\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=(z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{E})^2\), ver teoría de estadística

En este caso, al ser el mismo nivel de confianza que el apartado anterior, se tiene que \(z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96\), por lo tanto, \(n>(1,96\frac{10}{5})^2=96,04\Rightarrow\bbox[yellow]{n\geq 97}\)

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