Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción A) (Calificacón: 2 ptos)

Se supone que la probabilidad de que nazca una niña es \(0,49\) y la probabilidad de que nazca niño es \(0,51\). Una familia tiene dos hijos

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean niños, condicionada porque el segundo sea niño?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean niños, condicionada porque al menos uno sea niño?

Definiendo las variables se tiene

\(A_n\equiv\) nace el niño n-ésimo
\(B_n\equiv\) nace la niña n-ésima

a) Para estudiar la probabilidad condicionada pedida, consultar la teoría de probabilidad condicionada,

\(P(A_1\cap A_2|A_2)=\frac{P(A_1\cap A_2)\cap A_2}{P(A_2)}=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P((A_1\cap A_2)\cup (B_1\cap A_2))}=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1\cap A_2)+P(B_1\cap A_2)}\)

\(P(A_1\cap A_2|A_2)=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)P(A_2)+P(B_1)P(A_2)}=\frac{0,51.0,51}{0,51.0,51+0,49.0,51}=\bbox[yellow]{0,51}\)

b) En este segundo caso también se trata de una probabilidad condicionada

\(P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\frac{P(A_1\cap A_2)\cap (A_1\cup A_2)}{P(A_1\cup A_2)}=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(\bar{B_1\cap B_2})}=\frac{P(A_1)P(A_2)}{1-P(B_1\cap B_2)}\)

\(P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\frac{P(A_1)P(A_2)}{1-P(B_1)P(B_2)}=\frac{0,51.0,51}{1-0,49.0,49}=\bbox[yellow]{0,34}\)

Ejercicio : (Septiembre 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se dispone de tres urnas, \(A,B\) y \(C\). La urna \(A\) contiene una bola blanca y dos bolas negras, la urna \(B\) contiene dos bolas blancas y una bola negra y la urna \(C\) contiene tres bolas blancas y 3 negas. Se lanza un dado equilibrado y si sale \(1,2\) ó \(3\) se escoge la urna \(A\), si sale \($\) se escoge la \(B\) y si sale \(5\) ó \(6\) se elige la urna \(C\). A continuación, se extrae una bola de la urna elegida

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?

b) Si se sabe que la bola extraída ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola haya sido extraída de la urna \(C\)?

Para resolver el problema se definen las variables a utilizar:

\(A\equiv\) Se escoge la urna \(A\)
\(B\equiv\) Se escoge la urna \(B\)
\(C\equiv\) Se escoge la urna \(C\)
\(D\equiv\) La bola extraída es blanca

Los datos que da el enunciado son los siguientes

\(P(A)=\frac{3}{6}\)
\(P(B)=\frac{1}{6}\)
\(P(C)=\frac{2}{6}\)
\(P(D|A)=\frac 13\)
\(P(D|B)=\frac 23\)
\(P(D|C)=\frac 36\)

a) La probabilidad de que la bola extraída sea blanca será la probabilidad de que sea blanca habiendo escogido la urna \(A\), más la probabilidad de que sea blanca habiendo escogido la \(B\) más la probabilidad de que sea blanca habiendo escogido la \(C\), ver la teoría de la probabilidad

\(P(D)=P((A\cap D)\cup (B\cap D)\cup (C\cap D))=P(A\cap D)+P(B\cap D)+ P(C\cap D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(B|D)+P(C)P(C|D)\)

Luego, \(P(D)=\frac 36.\frac 13+\frac 16.\frac 23+\frac 26.\frac 36=\bbox[yellow]{\frac 49}\)

b) La probabilidad de que la bola extraída sea de la urna \(C\) sabiendo que es blanca es una probabilidad condicionada, consultar probabilidad condicionada

\(P(C|D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=\frac{P(C)P(D|C)}{P(D)}=\frac{\frac 26.\frac 36}{\frac 49}=\bbox[yellow]{\frac 38}\)

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Ejercicio : (Junio 2011 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

En un edificio inteligente de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad \(0,4\), de molinos eólicos con probabilidad \(0,26\) y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad \(0,12\). Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio:

a) por alguna de las dos instalaciones,

b) sólamente por una de las dos

a) Primeramente se definen las variables a utilizar y los datos obtenidos del enunciado:

\(A\equiv\) La energía es suministrada por placas solares, \(P(A)=0,4\)
\(B\equiv\) La energía es suministrada por molinos eólicos, \(P(B)=0,26\)
\(A\cap B\equiv\) La energía es suministrada por placas solares y por molinos eólicos, \(P(A\cap B)=0,12\)

a) La probabilidad pedida será la probabilidad de que la energía sea suministrada por las placas solares más la probabilidad de que sea suministrada por molinos eólicos, ver la teoría de la probabilidad

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,4+0,26-0,12=\bbox[yellow]{0,54}\)

b) La probabilidad será

\(P((A\cap \bar{B})\cup(\bar{A}\cap B))=P(A\cap\bar{B})+P(\bar{A}\cap B)=P(A)-P(A\cap B)+P(B)-P(A\cap B)\)
\(\Rightarrow P((A\cap \bar{B})\cup(\bar{A}\cap B))=P(A\cup B)-P(A\cap B)=\bbox[yellow]{0,42}\)

Ejercicio : (Junio 2011 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

En un cierto punto de una autopista está situado un radar que controla la velocidad de los vehículos que pasan por dicho punto. La probabilidad de que el vehículo que pase por el radar sea un coche es \(0,5\), de que sea un camión es \(0,3\) y de que sea una motocicleta es \(0,2\). La probabilidad de que cada uno de los tres tipos de vehículos supere al pasar por el radar la velocidad máxima permitida es \(0,06\) para un coche, \(0,02\) para un camión y \(0,12\) para una motocicleta. En un momento dado, un vehículo pasa por el radar

a) Calcúlese la probabilidad de que este vehículo supere la velocidad máxima permitida

b) Si un vehículo en cuestión ha superado la velocidad máxima permitida, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una motocicleta?

Primeramente se definen las variables a utilizar y los datos:

\(A\equiv\) Por el radar pasa un coche; \(P(A)=0,5\)
\(B\equiv\) Por el radar pasa un coche; \(P(B)=0,3\)
\(C\equiv\) Por el radar pasa un coche; \(P(C)=0,2\)
\(S\equiv\) El vehículo que pasa por el radar supera la velocidad máxima permitida
\(P(S|A)=0,06\) Probabilidad de superar la velocidad máxima si es un coche
\(P(S|B)=0,02\) Probabilidad de superar la velocidad máxima si es un camión
\(P(S|C)=0,12\) Probabilidad de superar la velocidad máxima si es una motocicleta

a) Los vehículos que superan la velocidad máxima pueden ser coches, camiones o motocicletas, por lo tanto, teniendo en cuenta la teoría de la probabilidad, se tiene

\(P(S)=P((A\cap S)\cup (B\cap S)\cup (C\cap S))=P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P(S|C)=0,5.0,006+0,3.0,02+0,2.0,12=\bbox[yellow]{0,06}\)

b) La probabilidad pedida será una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,

\(P(C|S)=\frac{P(C\cap S)}{P(S)}=\frac{P(C).P(S|C)}{P(S)}=\frac{0,2.0,12}{0,06}=\bbox[yellow]{0,4}\)

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Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

En un avión de línea regular existe clase turista y clase preferente. La clase turista ocupa las dos terceras partes del pasaje y la clase preferente, el resto. Se sabe que todos los pasajeros que viajan en la base preferente saben hablar inglés y que el \(40\)% de los pasajeros que viajan en clase turista no saben hablar inglés. Se elige un pasajero del avión al azar

a) Calcúlese la probabilidad de que el pasajero elegido sepa hablar inglés

b) Si se observa que el pasajero elegido sabe hablar inglés, ¿cuál es la probabilidad de que viaje en la clase turista?

a) Para resolver el problema se definen las variables a utilizar:

\(T\equiv\) El pasajero viaja en clase turista
\(P\equiv\) El pasajero viaja en clase preferente
\(I\equiv\) El pasajero sabe hablar inglés

Los datos que da el enunciado son los siguientes

\(P(T)=\frac 23\)
\(P(P)=\frac 13\)
\(P(I|P)=1\)
\(P(\bar{I}|T)=0,40\)

Hay que tener en cuenta también que saber inglés viajando en clase turista \((I|T)\) y no saber inglés si viaja en turista \((\bar{I}|T)\) son complementarios, \(P(I|T)=1-P(\bar{I}|T)=1-0,40=0,60\)

b) La probabilidad de que sepa inglés será la probabilidad de que sepa inglés viajando en clase turista más la probabilidad de que lo sepa viajando en clase preferente, ver la teoría de la probabilidad

\(P(I)=P((T\cap I)\cup (P\cap I))=P(T\cap I)+P(P\cap I)=P(T)P(I|T)+P(P)P(I|P)\)

Luego, \(P(I)=\frac 23.0,60+\frac 13.1=\frac{11}{15}=\bbox[yellow]{0,7333}\)

c) Suponiendo que el cliente habla inglés, la probabilidad de que viaje en clase turista será una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,

\(P(T|I)=\frac{P(T\cap I)}{P(I)}=\frac{P(T).P(I|T)}{P(I)}=\frac{\frac 23.0,6}{\frac{11}{15}}=\bbox[yellow]{0,5455}\)

Ejercicio : (Septiembre 2013 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Una caja de caramelos contiene \(7\) caramelos de menta y \(10\) de fresa. Se extrae al azar un caramelo y se sustituye por dos del otro sabor. A continuación se extrae un segundo caramelo. Hállase la probabilidad de que:

a) El segundo caramelo sea de fresa

b) El segundo caramelo sea del mismos abor que el primero

Para resolver el problema se definen las variables a utilizar:

\(M_i\equiv\) Extraer un caramelo de menta en la extracción i
\(F_i\equiv\) Extraer un caramelo de fresa en la extracción i

Los datos que da el enunciado son los siguientes

\(P(M_i)=\frac{7}{17}\)
\(P(F_i)=\frac{10}{17}\)
\(P(M_2|M_1)=\frac{6}{18}=\frac 13\)
\(P(F_2|M_1)=\frac{12}{18}=\frac 23\)
\(P(M_2|F_1)=\frac{9}{18}=\frac 12\)
\(P(F_2|F_1)=\frac{9}{18}=\frac 12\)

a) La probabilidad de que el segundo caramelo sea de fresa (\(F_2\)), será la probabilidad de que el segundo caramelo sea de fresa habiendo sido el primero de menta más la probabilidad de que sea de fresa el segundo habiéndose extraído primeramente otro de fresa, ver la teoría de la probabilidad

\(P(F_2)=P((M_1\cap F_2)\cup (F_1\cap F_2))=P(M_1\cap F_2)+P(F_1\cap F_2)=P(M_1)P(F_2|M_1)+P(F_1)P(F_2|F_1)\)

Luego, \(P(F_2)=\frac{7}{17}\frac 23+\frac{10}{17}\frac 12=\bbox[yellow]{\frac{29}{51}}\)

b) La probabilidad de que el segundo caramelo sea del mismo sabor que el primero será la suma de las probabilidades de que el primero sea de menta y el segundo también y la de que ambos sean de fresa

\(P((M_1\cap M_2)\cup (F_1\cap F_2))=P(M_1\cap M_2)+P(F_1\cap F_2)=P(M_1)P(M_2|M_1)+P(F_1)P(F_2|F_1)\)

Luego, \(P((M_1\cap M_2)\cup (F_1\cap F_2))=\frac{7}{17}\frac 13+\frac{10}{17}\frac 12=\bbox[yellow]{\frac{22}{51}}\)

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Ejercicio : (Junio 2014 Opción A) (Calificación: 2 ptos)

Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos de un espacio muestral tales que: \(P(A)=0,4; P(A\cup B)=0,5; P(B|A)=0,5\). Calcúlese:

a) \(P(B)\)

b) \(P(A|\bar{B})\)

Nota: \(\bar{S}\) denota el suceso complementario del suceso \(S\)

a) La probabilidad del suceso \(B\) se calculará a partir de la fórmula de la probabilidad de la unión y de la condicionada (ambas dadas en el enunciado), ver dichas fórmulas en la teoría de la probabilidad

\(P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}\Rightarrow P(B\cap A)=P(B|A)P(A)=0,5.0,4=0,2\)

Por otra parte,

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow P(B)=P(A\cup B)+P(A\cap B)-P(A)\)

\(\Rightarrow P(B)=0,5+0,2-0,4=\bbox[yellow]{0,3}\)

b) La probabilidad pedida es una probabilidad condicionada, ver probabilidad condicionada,

\(P(A|\bar{B})=\frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}=\frac{0,4-0,2}{1-0,3}=\bbox[yellow]{0,28}\)

Ejercicio : (Junio 2014 Opción B) (Calificación: 2 ptos)

Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas \(A\) y \(B\). La urna \(A\) contiene \(3\) bolas rojas y \(2\) negras; la urna \(B\) contiene \(2\) rojas y \(3\) negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido es \(1\) ó \(2\) extraemos una bola de la urna \(A\); en caso contrario extraemos una bola de la urna \(B\)

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?

b) Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna \(A\)?

a) Para resolver el problema se definen primeramente las variables a utilizar:

\(R\equiv\) Bola roja
\(N\equiv\) Bola negra

La probabilidad de que salga una bola roja será la probabilidad de que salga roja habiéndola sacado de la urna \(A\) más la probabilidad de que salga roja habiéndola sacado de la \(B\), ver la teoría de la probabilidad

\(P(B)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)=\frac 13.\frac 35+\frac 23.\frac 25=\bbox[yellow]{\frac{7}{15}}\)

b) La probabilidad pedida es una probabilidad condicionada,
probabilidad condicionada

\(P(A|R)=\frac{P(R|A)P(A)}{P(R)}=\frac{\frac 35\frac 13}{\frac{7}{15}}=\bbox[yellow]{\frac 37}\)

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Ejercicio :(Septiembre 2010 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Es coste de un marco para una ventana rectangular es de \(50\) euros por cada metro de lado vertical y de \(25\) euros por cada metro de lado horizontal. Se desea construir una ventana de superficie igual a \(2m^2\). Calcúlese sus dimensiones (largo y alto) para que el marco sea lo más barato posible. Calcúlese el precio mínimo del marco de dicha ventana

Considerando \(x\) la longitud de la base del marco e \(y\) la altura, el coste (y la función a minimizar) será

\(P(x,y)=25.2x+50.2y=50x+100y\)

Teniendo en cuenta que el enunciado dice que el área es igual a \(2m^2\) y la fórmula para el área de un rectángulo, se tiene,

\(x.y=2\Rightarrow y=\frac 2x\)

Incluyendo este despeje en la ecuación a minimizar, se tiene

\(P(x)=50x+100\frac 2x=50x+\frac{200}{x}\)

Para hallar el mínimo pedido se deriva la función \(P(x)\) y se iguala a cero la derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y consultar también la tabla de derivadas,

\(P'(x)=50-\frac{200}{x^2}=0\Rightarrow x=\pm 2\)

El valor negativo de \(x\) no tiene sentido (ya que se está hablando de la medida de un lado de un rectángulo), luego sólo se tendrá en cuenta \(x=2\)

Para comprobar si es mínimo el punto crítico obtenido se evalúa en la segunda derivada,

\(P»(x)=\frac{400}{x^3}\), luego, \(P»(2)=0\), de forma que \(x=2,y=\frac 22=1\) es un mínimo de la función \(P(x,y)\)

Por lo tanto, las dimensiones que hacen el coste mínimo son \(\bbox[yellow]{x=2m,y=1m}\)

El valor de este coste mínimo será \(P(2,1)=50.2+100.1\Rightarrow \bbox[yellow]{P(2,1)=200\hbox{ euros}}\)

Ejercicio : (Septiembre 2010 Opción B) (Calificación: 3 ptos)

Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una superficie de \(480m^2\). Puede comprar la pintura a dos proveedores, \(A\) y \(B\). El proveedor \(A\) le ofrece una pintura con un rendimiento de \(6m^2\) por Kg y un precio de \(1\) euro por Kg. La pintura del proveedor \(B\) tiene un precio de \(1,2\) euros por Kg y un rendimiento de \(8m^2\) por Kg. Ningún proveedor le puede suministrar más de \(75\) Kg de pintura y el presupuesto máximo del pintor es de \(120\) euros. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dicho coste mínimo

Primeramente se identifican las variables del problema:

\(x\equiv\) Kg de pintura comprados al proveedor \(A\)
\(y\equiv\) Kg de pintura comprados al proveedor \(B\)

La función a maximizar será \(F(x,y)=1x+1,2y\)

Las restricciones obtenidas a partir del enunciado serán las siguientes:

\(6x+8y\geq 480,\quad\)\(\quad 0\leq x\leq 75,\quad\)\(\quad 0\leq y\leq 75,\quad\)\(\quad x+1,2y\leq 120,\quad\)\(\quad x\geq 0,\qquad y\geq 0\)

Para obtener los vértices de la región del enunciado, se resuelven las inecuaciones dos a dos, ver cómo resolver problemas de programación lineal y consultar cómo resolver sistemas de ecuaciones se obtiene el resultado

\(\displaystyle\begin{cases}x=&0\\6x+8y=&480\\\end{cases}\Rightarrow A(0,60)\)

\(\displaystyle\begin{cases}x=&0\\y=&75\\\end{cases}\Rightarrow B(0,75)\)

\(\displaystyle\begin{cases}x+1,2y=&120\\y=&75\\\end{cases}\Rightarrow C(30,75)\)

\(\displaystyle\begin{cases}x+1,2y=&120\\x=&75\\\end{cases}\Rightarrow D(75,37.5)\)

y

\(\displaystyle\begin{cases}x=&75\\6x+8y=&480\\\end{cases}\Rightarrow E(75, 3.75)\)

De forma que comprobando por ejemplo con el punto \((0,0)\) se dibuja la región será

Sustituyendo los valores de los vértices de la región obtenida en la función objetivo \(F(x,y)=x+1,2y\), se obtienen los siguientes resultados

\(\displaystyle\begin{cases}F(0,60)=&72\\F(0,75)=&90\\F(30,75)=&120\\F(75, 37.5)=&120\\F(75, 3.75)=&79,5\\\end{cases}\)

Luego, \(F(x,y)\) alcanza el valor mínimo en el punto \(A(0,60)\)

Por lo tanto, será necesario \(\bbox[yellow]{\hbox{ comprar }60\hbox{ kg de la pintura }B\hbox{ siendo el coste }72\hbox{ euros}}\)

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Ejercicio : (Junio 2010 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Se considera la función \(f(x)=-0,4x+3,2y\) sujeta a las siguientes restricciones

\(\displaystyle\begin{cases}x+y\leq&7\\x+4y\geq&4\\x+5\geq&4\\0\leq x\leq 5&\\y\geq 0,&\\\end{cases}\)

a) Represéntese la región \(S\) del plano determinada por el conjunto de restricciones
b) Calcúlense los puntos de la región \(S\) donde la función \(f\) alcanza sus valores máximo y mínimo
c) Calcúlense dichos valores máximo y mínimo

a) Para obtener los vértices de la región pedida, se resuelven las ecuaciones dos a dos, ver cómo resolver problemas de programación lineal y consultar cómo resolver sistemas de ecuaciones se obtiene el resultado

\(\displaystyle\begin{cases}x=&0\\x+4y=&4\\\end{cases}\Rightarrow A(0,1)\)

\(\displaystyle\begin{cases}x=&0\\x-y=&-5\\\end{cases}\Rightarrow B(0,5)\)

\(\displaystyle\begin{cases}x+y=&7\\x-y=&-5\\\end{cases}\Rightarrow C(1,6)\)

\(\displaystyle\begin{cases}x+y=&7\\x=&5\\\end{cases}\Rightarrow D(5,2)\)

y

\(\displaystyle\begin{cases}y=&0\\x=&5\\\end{cases}\Rightarrow E(5,0)\)

De forma que la región pedida será

b) Sustituyendo los valores de los vértices de la región obtenida en la función objetiva \(f(x,y)\), se obtienen los siguientes resultados

\(\displaystyle\begin{cases}f(0,1)=&3,2\\f(0,5)=&16\\f(1,6)=&18,8\\f(5,2)=&4,4\\f(5,0)=&-2\\f(4,0)=&-1,6\\\end{cases}\)

Luego, \(f(x,y)\) alcanza el valor mínimo en el punto \(\bbox[yellow]{E(5,0)}\) y el máximo en \(\bbox[yellow]{C(1,6)}\)

c) Los valores serán \(\bbox[yellow]{f(1,6)=18,8}\) y \(\bbox[yellow]{f(5,0)=-2}\)

 

Ejercicio :(Junio 2010 Opción A) (Calificación: 3 ptos)

Se considera el rectángulo \(R\) de vértices \(BOAC\) con \(B(0,b)\), \(O(0,0)\), \(A(a,0)\) y \(C(a,b)\) con \(a>0,b>0\) y cuyo vértices \(C\) está situado en la parábola de ecuación \(y=-x^2+12\)

a) (1 pto) Para \(a=3\), determínense las coordenadas de los vértices de \(R\) y calcúlese el área de \(R\)
b) (1 pto) Determínense las coordenadas de los vértices de \(R\) de manera que el área del rectángulo sea máxima
c) (1 pto) Calcúlese el valor de dicha área máxima

a) Si \(a=3\) y el vértice de la parábola viene dado por \(C(a,b)\), se tendrá que \(b=-3^2+12=3\), ver geometría de una parábola

De manera que y se tienen los vértices dle rectángulo \(R\) buscado, \(O(0,0),\; A(3,0),\; C(3,3),\; D(0,3)\)

El área del un rectángulo viene determinada por \(A=a.b\), ver área de un rectángulo

Por lo tanto, \(A=3.3=\bbox[yellow]{9}\)

b) Sabiendo que el punto \(C\) pertenece a la parábola y, por otra parte, teniendo en cuenta la fórmula del área del rectángulo, los parámetros \(a,b\) tienen que cumplir que

\(\begin{cases}b=-a^2+12&\\A=a.b&\\\end{cases}\Rightarrow A=-a^3+12a\)

Para hallar el máximo pedido se deriva la función \(A(a)\) y se iguala a cero la derivada, ver cómo calcular máximos y mínimos de una función y consultar también la tabla de derivadas,

\(A'(a)=-3a^2+12=0\Rightarrow a=\pm 2\)

El valor negativo de \(a\) no tiene sentido (ya que se está hablando de la medida de un lado de un rectángulo), luego sólo se tendrá en cuenta \(a=2\)

Para comprobar si es máximo el punto crítico obtenido se evalúa en la segunda derivada,

\(A»(a)=-6a\) y \(A»(2)=-12<0\), luego, en \(a=2\quad\hbox{y }b=-2^2+12=8\) se alcanza un máximo para el área del rectángulo

Por lo tanto, el rectángulo de área máxima tendrá los siguientes vértices

\(\bbox[yellow]{O(0,0),\; A(2,0),\; C(2,8),\; D(0,8)}\)

c) Sustituyendo los valores hallados en el apartado anterior (\(a=2,b=8\)), se tiene \(A=2.8\Rightarrow\bbox[yellow]{A=16}\)

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